Для разминки мозгов.

Может кто-нибудь на пальцах, без применения ИИ объяснить, почему гипотенуза не равна двум катетам? Простой, наглядный пример показывает, что это должно быть именно так.
Любую гипотенузу можно представить в виде лестницы. Если длина и высота ступенек стремится к нулю, то вроде как такая «лестница» стремится к гипотенузе. Но! Сумма всех отрезков в такой лестнице, параллельных катетам, равна сумме катетов.
Где ошибка в рассуждениях?

> Любую гипотенузу можно представить в виде лестницы

большой радиус кривизны рук? если вы прямую линию как лесенку "нарисовали"

почитай про "геометрию таксиста" (Минковский какой-то придумал?)

все три "дорожки" одинаковые в таксисечной геометрии

(1) Ну вот как раз из такой задачки и родился вопрос.

(0) Так чем больше ступенька стремится к нулю, тем больше ступенек)

(0) По простому, чтоб использовать лимиты, надо чтоб на каждом шагу дробления ступенек кусочки становились все более приближающимися по направлению к гипотенузе, а у тебя они все время остаются под одним углом к ней. Это еще у Кавальери в его "Геометрия изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного" упомянуто. Он тоже с подобным "парадоксом" столкнулся.

(2) академиев не кончал?

"Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально
dх применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю."

(5) 2 класса и коридор. Сказать то что хотел?)

Как ни уменьшай ступеньку, а гипотенуза все равно короче)

(5) Ну с дифференциалами и производными каждый может. А вот без них это как-то можно объяснить? В (4) основной подход изложен.

Если длина и высота ступенек стремится к нулю, то все, что ты можешь доказать это

бесконечность + бесконечность = бесконечность

(8) К черту лимиты и прочую ересь)

Берем линейку)

Рисуем ступеньку 1см, на 1см)

Рисуем к этой ступеньке гипотенузу.

Измеряем)

Получаем длину гипотенузы (лень считать но меньше чем 1 + 1)

Так как любая отдельная ступенька нашей лестницы это прямоугольный треугольник...
Делаем выводы)

И никаких Лейбницев И Гей Люсаков)

(10) а смогёшь треугольник с высотой катетов, равных нулю, нарисовать и померить эту самую гипотенузу у этого тревугольника?

> Если длина и высота ступенек стремится к нулю...

(11) Зачем?

(11) Да пусть стремится, все равно будет >0

мне из геометрии еще определение точки непонятно...

в какой момент круглая или овальная или квадратная точка превращается в ничто:

"Точка в геометрии — это базовое неопределяемое понятие, обозначающее конкретное местоположение в пространстве, но не имеющее никаких размеров: длины, ширины или высоты"

"Без размеров: У точки нулевое измерение; ее нельзя измерить или разделить на части."

(14) Длина и высота ступеньки это отрезки, а они то как-раз имеют длину)

(15) > а они то как-раз имеют длину)

нулевую. мы помним (0)

(16) Стремится, но нулем стать не сможет) Иначе перестанет быть отрезком.

Можно понять, почему площадь фигуры стремится к сумме площадей, допустим, квадратиков, внутри неё, но почему при уменьшении размеров фигуры длина любой его стороны вдруг может стать равной сумме длин прочих сторон - непонятно. Откуда вообще взялся такой посыл.

Нарисовал чертеж, где длина гипотенузы равна сумме длин катетов. Получилось что противолежащий прямой угол равен 180 градусов.
магия какая-то

(17) иначе гипотенуза превратится в тыкву точку (без размеров, с нулевым измерением)

перспектива как у Шарика

"Предметы по мере удаления от зрителя кажутся меньше, а параллельные линии сходятся в одной точке на линии горизонта."

(19) Точно) В условии нужно добавить "в прямоугольном треугольнике".

(20) Тогда это будет не ступенька.

(19) прямую линию нарисовал?

"если сумма длин двух катетов равна длине гипотенузы, то геометрически треугольник «вырождается» в прямую линию (отрезок)"

яснопонятно

(0)Циркуль использовать можно?

(0) dГипотенуза = SQR(2) * dКатет
Можете хоть обрисоваться ступеньками.

(25) Сказали же, без ИИ)

(26) Я даже не знаю как его включить )

(27) Не надо оправдываться!)

Мы используем евклидову геометрию в строительстве и повседневной жизни (например, при планировке комнаты), потому что в масштабах Земли ее кривизна ничтожно мала. Нам кажется, что пол плоский, а стены параллельны. Но если мы начнем строить очень протяженные объекты (например, мосты длиной в десятки километров), инженерам приходится учитывать кривизну Земли, то есть переходить к сферической геометрии (геометрии Лобачевского-Римана)

что-то там про ступеньки лестницы...

евклидовая геометрия существует только в вакууме как сферический конь

"абстрактная математическая модель, которая описывает абсолютно плоское, пустое и непрерывное пространство. Реальность же устроена гораздо сложнее"

(14) Гильберт предлагал вместо точек представлять себе пивные кружки, а вместо линий - барную стойку. Главное чтоб аксиомы не трогали.
(20) Ты открыл проективную геометрию. Теперь осталось доказать, что как максимум тремя проективными гомологиями любой четырехугольник можно перевести в любой другой четырехугольник.
(29) Лобачевский и Риман это ни к чему, сферическая геометрия она Евклидова по сути, ее в штурманских классах преподают.

(30) геометрия она везде одинаковая, если учитывать "кривизну" пространства

Почему их ровно 8 (фундаментальных типов геометрий)?

Математически доказано, что это единственные 8 способов задать однородную геометрию в трехмерном мире. Каждая из них задает свои уникальные законы физики, траектории движения света и форму предметов.

https://share.google/aimode/ht1jaHPhBDcUcu3UI

(0)
1. Аксиома Евклидовой геометрии: Прямая - кратчайшее расстояние между точками
2. Отсюда следует что если путь проходит через любую точку вне прямой (гипотенузы) то его длина (через катеты) не является кратчайшей

(0) Еще в твоем дифференцируемом рассуждении о лесенке ты только гипотенузу ломаешь
Но так нельзя, надо еще и катеты тогда тоже ломать аналогично
И упс их длина становится больше

(0) Ошибка в том, что изначально вдруг с нихуя принялось за норму, что линию наискосок можно без проблем равноценно заменить двумя линиями, горизонтальной и вертикальной

Отрезки спрямляемой ломаной должны лежать на кривой. Тогда верхняя грань их сумм длин будет длиной кривой. По простому: цепи ломаной должны стремится к касательной. А просто брать зубчатую кривую конечно нельзя - можно сделать длину какой угодно большой

(0) >> Где ошибка в рассуждениях?

Вот здесь: "Если длина и высота ступенек стремится к нулю, то вроде как такая «лестница» стремится к гипотенузе."

На самом деле не стремится.

(35) "Тогда верхняя грань их сумм длин будет длиной кривой". По Жордану как раз нижняя, так как верхняя и нижняя оценки сходятся, но формула для нижней всегда проще, поэтому за длину спрямляемой кривой принята нижняя оценка.

(0) по-военному!
берешь курвиметр, по своей лестнице - в одну сторону крутишь,
по катетам - в другую...

никогда в ноль не выйдешь

(0) >> Если длина и высота ступенек стремится к нулю, то вроде как такая «лестница» стремится к гипотенузе

Почему сделал вывод что стремится именно к гипотенузе, а не к нулю, или к бесконечности, или к единице, или к любому другому числу?
Тут выбрана именно гипотенуза без всякого обоснования.

(37) нет верхняя. Нижняя вообще хз чему равна. Подумайте над этим

(36) Стремится, но хрен догонит)

Там ошибка в том, что стремится к 0 подразумевается что = 0, а это не так.

Пока ступенька треугольник, можно применить теорему подобия.

Сколько ступеньки не уменьшай, все равно сумма их катетов будет равна катетам исходного треугольника.

И соответственно, больше гипотенузы.

(40) отчего хз? нижняя оценка - сумма длин хорд, верхняя - сумма отрезков касательных. При дроблении по правилу неравенства треугольника нижняя оценка растет но ни на каком шаге не превышает любую из верхних оценок, а верхняя уменьшается, но никогда не становиться меньше любой из нижних оценок, поэтому они сходятся к одной величине по теореме о двух милиционерах - это основа теории пределов. Сумма хорд выражается проще чем сумма отрезков касательных, поэтому нижняя оценка и принимается за оценку длины. В мере на линии по Лебегу тоже нижняя оценка применяется. Про Хаусдорфа не скажу, не копал так глубоко.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов - доказательство общеизвестно. А потом доказывать, что сумма катетов не обязательно равна корню квадратному из суммы их квадратов. Что-то прям бесит доказывать очевидное, честно говоря.

поделитесь, где такой травы берете

(0) Тупо идем от обратного. Если катет1 + катет2 = Гипотенузе, то никакой треугольник не получится - будут две прямые "наложенные" или "паралельные" друг другу. Вот и вся задача

(42) это в какой-то вашей вселенной. Я в (35) никаких касательных не рисовал. Достаточно хорд. Поэтому граница только верхняя и она равна длине кривой

(41) Допустим, что длина лестницы волшебным образом становится равна длине гипотенузы, из-за того что высота ступенек стала равна 0, тогда она перестает быть равна длине суммы катетов. Откуда тогда вывод что гипотенуза равна сумме катетов? С потолка взяли.

(42) это путаница терминов. Вы говорите о нижней оценки длины кривой, а я говорю о верхней грани суммы длин ломаных. По сути это одно и тоже

(0) Я понял где решение - надо уменьшать один из катетов. Тогда второй катет стремится к гипотенузе. Но если так сделать то вычитаемое не равно нулю. Тогда гипотенуза не равна двум катетам.

Сумма всех вычитаемых ещё больше не равна нулю...

То есть вы не видите вычитаемое поскольку при дроблении визуально один из катетов стремится к нулю быстрее другого в общем случае поскольку треугольник не равносторонний как правило. Чем больше пропорция, тем быстрее достигается визуальный эффект потери вычитаемого

(49) (50) главный вопрос математики - а не всё ли равно?

главный вопрос геометрии - что и требовалось доказать!

Херня какая то, а не разминка мозгов, сумма катетов будет равна гипотенузе только в одном случае, когда второй катет будет равен нулю

(0) Вам только издалека кажется как такая «лестница» стремится к гипотенузе!
При таком построении длина вашей лесенки всегда a+b
Длина гипотенузы в Евклидовой геометрии sqrt(a²+b²)

Как пример картинка когда суммарная длина всегда одинакова, а фигура превращается в точку🔥
Берем отрезок(отрезки) и каждый раз делим все пополам и один конец отрезков ставим в определенную точку.

(47) Как только высота и длина ступеней лесенки станет равна нулю, она перестанет быть лесенкой и превратится в гипотенузу)
Совершенно не волшебным образом)

(49) Сразу видно адепта гени) Ты не сможешь уменьшать один катет, тогда лесенка свалит из угла. Садись два.

(54) сумма любого числа нулей равна нулю.

В любом треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей. Если бы было иначе, то все вершины треугольника должны были бы располагаться на одной прямой, что противоречит самому смыслу треугольника

(56) Схуя ли катеты станут равны нулю и останутся катетами?

У меня это главный ворос)

(53) >> Длина гипотенузы в Евклидовой геометрии sqrt(a+b)

sqrt(a²+b²)

(59) А точно, спасибо

(32) Прямая - кратчайшее расстояние между точками
у Евклида нет такой аксиомы, это граф Вишня в Чипполино говорил)

Земля круглая, а геометрия плоская (евклидовая которая, с пятым постулатом про параллельные кривые через одну точку)

(58) а зачем им становиться равными нулю? Вы сперва с бесконечно малыми разберитесь... чем они от нуля отличаются, ну там всякие эпсилон-дельта и т.п.

(64) А я то при чем? Это к автору)

(26) ИИ сказл что в равнобедренном треугольнике максимально отличается. А в случае со ступеньками близко только если ступеньки очень крутые или очень пологие,катеты максимально различаются. Какой умный ИИ.

(67) зачем сюда постить нейрослоп? в исходной задаче вопрос про катеты, а катеты бывают только у прямоугольного треугольника...

"Если длина и высота ступенек стремится к нулю, то вроде как такая «лестница» стремится к гипотенузе. Но! "

Если начать уменьшать программиста 1С, то его рост будет стремиться к нулю, и руки будут расти вроде как из задницы. Но! ...

(69) Хм... а у Мальчика-с-пальчика тоже руки не оттуда растут?
Надо у нашего Гриши Перельмана спросить - он точно в курсе пространственных пертурбаций.

(52) О том и речь. Он спрашивает "в чем я ошибся" а не "как есть у умных". У него при измельчении катет сливается визуально с гипотенузой. Это можно представить как модель где один катет уменьшается до нуля. "Где ошибка?" если так уменьшать катет, то образуется вычитаемое (меньший катет). Оно и не видно, а он верит исключительно глазам.

(53) А как вы посчитали последний пример - 128? Откуда уверенность что там 128 линий. Я не понял.

(53) Я вот так смотрел. Видимо разрешения не хватает. Можете пример 32 - 128 крупнее снять?

(61) "Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну."

(54) Как не равное нулю может стать нулю? "ненулевое может стать нулевым если его уменьшить сильно" - это сильная теорема. Или аксиома? Аксиома верного глаза.
(55) Так она и свалит, но образуется неотрицательное вычитаемое. Это единственный способ лестницу сгладить. Сгладить и значит убрать углы.

(74) Это если бесплатно

(58) Фактически они катеты, но при уменьшении размера ступени  ВИЗУАЛЬНО сливается с гипотенузой.

(64) Вы вообще читаете задачу. Человек пишет: я наблюдаю бла бла. В чем я ошибся. Теоретики, млин.

Если у эскалатора уменьшить ступеньки, то он превратится в травалатор.

(79) Нет, тогда получится эскалатор для китайцев.

(79) Это если на ноль поделить)

(81) Дался тебе этот ноль... Кстати, в 5000 сразу три ноля.
произнеси третий раз ноль и, возможно, Гений тут появится.

(82) Это мне мой уровень) Мой уровень 3000) Там тоже 3 ноля, но впереди не 5, а 3)

Зато одна ипотека, а не две...

Смари, у меня 3000  0 ипотек, у геши 5000 и 1 ипотека, ты 8 в час берешь  чтоль?)

(0) если предположить что «лестница стремится к гипотенузе", то можно взять их разность за дельту и проверить что
величина Sum(a)+Sum(b)-Sum(c)
1. изначально строго больше 0
2. инвариантна от разбиения на ступеньки

(86) Он не предполагает, а делает выводы на основе наблюдений. Наблюдение - общенаучный метод исследования....

(87) наблюдение разное бывает. наблюдать можно и что солнце движется по небу

(88) Говно пример, настоящие ученые обошли бы вокруг и поделились наблюдениями.

Ты еще слона приведи в пример и толпу слепых.

Это не научный метод. садись, два.

(89) Что у фантазеров в голове. Человек пришел с реальным кейсом, а ему впаривают сферическую коробку в вакууме от настоящих.... Ещё спрашивает почему у него только 3000.
wiki:Научное_наблюдение
(88) В том и радость.

(54) Или не превратится. Может она превратится в точку. Или в дугу. Или еще во что-нибудь. То что она превратится в гипотенузу - это просто предположение, ничем не доказанное. Но даже если превратится в гипотенузу, то нет гарантии что она все еще будет равна двум катетам. Момент превращения из одного в другое не гарантирует сохранение длины.

в прямоугольном треугольнике c = √(a² + b²). При a,b > 0:
(a + b)² = a² + 2ab + b²  >  a² + b² = c²
значит a + b > c. Равенство было бы только при 2ab = 0, т.е. нулевой катет.

(0) потому что треугольник жесткая фигура, даже при условии шарнирных сочленений линий. Если бы гипотенуза была равна сумме катетов, его можно было бы сложить в линию, равную длине гипотенузы. Но этого не происходит, следовательно, два катета в сумме всегда больше длины гипотенузы.

(0) надо скомкать листок на котором это нарисовано

(100) Вы путаете геометрию и физику

(102) а откуда тогда геометры откопали барицентрические координаты?
Вся суть в одном, в (0) неправильно применено понятие предела. Остальное лишнее.

(103) Усомниться в теореме Пифагора на мисте в пятницу - это нормально.
Это вы слегка охреневшие. Даже очень охреневшие.

(104) ну... Пифагор много чего придумал. Вот кодекс строителя пифагореизма:
Воздерживайся от употребления в пищу бобов.
Не поднимай то, что упало.
Не прикасайся к белому петуху.
Не ломай хлеба.
Не шагай через перекладину.
Не размешивай огонь железом.
Не откусывай от целой булки.
Не ощипывай венок.
Не сиди на мерке в одну кварту.
Сердца не ешь.
Не ходи по большой дороге.
Не дозволяй ласточкам жить под крышей.
Вынимая горшок из огня, не оставляй следа его на золе, но помешай золу.
Не смотрись в зеркало около огня.
Когда встаешь с постели, сверни постельное белье и разгладь оставшиеся на нем следы твоего тела.

Ну ладно, ок

(106) хорошие советы, прям как

(108) Спасибо, Кэп!

(3)

Меньше квантовской длины не может быть, а там и сравняются.

(110) Планковской?)

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Про эту гипотезу есть теорема. Про сумму катетов теоремы нет... Есть ещё куб катетов - там Ферма порылся ...

Чему равна сторона наименьшего квадрата гипотенузы, в который можно упаковать 2 единичных катета, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?

Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?

Найти такое чётное число, большее 2, которое нельзя в виде суммы двух простых чисел!!

Господин товарищ барин топикстартер пересказал парадокс Ахиллеса - Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху. Но так дробить пространственно-временной котинуум (до плохой бесконечности) НЕЛЬЗЯ, однако ...

(113) Ты хоть когда сюда копипастишь проблемы мирового уровня, хоть задумывайся над тем, что ты копипастишь.

Вот это что:
"2 единичных катета, один из которых разрешается разрезать по хорде"
???
хм.. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Для обычного отрезка (катета) понятие «хорда» не имеет смысла.
Если ты подразумевал, что что один из катетов можно разрезать на два произвольных отрезка, то так и говори.
Ну или поясняй, что ты подразумеваешь под словами "разрезать единичный катет (то есть отрезок с условной длиной равной 1) по ХОРДЕ". А лучше, если можешь, нарисуй и покажи, где там ХОРДА, по которой его (единичный катет) разрезают.

(0) хм.. взял частый случай - равнобедренный прямоугольный треугольник.
Применил к нему знаменитую фразу - "пифагоровы штаны на все стороны..." ну и так далее. (то есть тупо нарисовал эти штаны).
Теперь пытаюсь к этой картинке пифагоровых штанов применит твою гипотезу.
Вот хоть убей, не складывается картинка по твоей гипотезе. При любой длине катетов, даже стремящихся к нулю.
Как ты говоришь - "простой, наглядный пример". Который не подтверждает твой "простой наглядный пример" :)))
PS: картинку пифагоровых штанов для равнобедренного прямоугольного треугольника помнишь?

(118)+
частый=частный

Задумался над этим вопросом еще раз и подошел к нему с другой стороны. Если взять прямоугольный треугольник и любую окружность, что инверсия исходного треугольника относительно этой окружности переведет его в т.н. криволинейный треугольник. Т.к. инверсия это конформное преобразование - все углы сохраняться и треугольник будет прямоугольным, но все его стороны превратятся в дуги. Тогда можно так подобрать окружность инверсии, что сумма длин дуг катетов будет равна длине дуги гипотенузы. Но чтоб получить конкретный пример в цифрах, тут нужно в Мёбиусовых преобразованиях копаться, а мы с матричным исчислением не сильно ладим друг с другом еще с универа...

(120) ну... дуги это такая штука... хм..
давай упростим - предположим, что треугольник равнобедренный, два катета это прямые отрезки (радиусы), и гипотенуза - это дуга (часть окружности). Тогда все просто - если два катета это радиусы, а длина окружности L=2Пи*R, отсюда 2R=L/Пи. То есть для соблюдения равенства длин двух катетов длине гипотенузы - гипотенуза должна быть равна L/Пи.

но вообще, дуги - это такая штука.. тут легко можно получить, что сумма длин двух катетов МЕНЬШЕ длины гипотенузы.
но автор же не это имел ввиду.

теперь берем каждый из катетов, представляем его в виде гипотенузы другого треугольника со своими катетами, эта гипотенуза будет также равна сумме этих новых катетов, повторяем снова и снова. в пределе получаем любая гипотенуза равна бесконечности.
бредовость посыла доказана.
следующий!

(106) А что Пифагор велел делать с чужим телом и его следами на постели? Вообще странно если следы будут доходить до постели и там теряться

(121) "тут легко можно получить, что сумма длин двух катетов МЕНЬШЕ длины гипотенузы" - можно. При инверсиях вообще много забавного происходит. Недаром она используется как модель геометрии Лобачевского.

(0) Есть способ вычисления длины окружности/площади круга через приближение лесенкой к кругу многоугольником. И там это работает. Главное отличие в том, что там приближают двумя многоугольниками - внешним и внутренним.
И получают Pa_n<O<Pb_n
где lim(Pa_n) = lim(Pb_n)
А у твоей лесенке на гипотинузе только одно неравенство c одной стороны.

(125) Не лесенкой, а именно многоугольником. Иначе у тебя длина окружности будет всегда равна двум диаметрам. У многоугольника с ростом числа сторон сторона все более приближается по направлению к касательной к окружности в каждой точке, поэтому метод и работает.

(125) Не важно чем, главное зажать двумя РАВНЫМИ пределами с двух сторон

(127) Нет, важно. Смотрите, зажмите четверть окружности между двумя лесенками, одной снизу а другой сверху, у обоих длина будет равна двум радиусам. И как не уменьшай ступени лесенки - она у обоих такой же и останется. Потому что на каждом шаге отрезки должны становиться все более соответствующими по направлению к касательным, а у вас они все время перпендикулярны друг другу.

Вы угораете?)
После (3) разве есть что обсуждать?)
А еще образованными себя считаете)

(127) Хотя, если подумать, то можно измерить длину гипотенузы и такими лесенками, но надо применять не меру Жордана а меру Миньковского. Берем квадрат 5 на 5 строим диагональ. Строим две лесенки - одна вся ниже диагонали, вторая вся выше. Площадь под нижней лесенкой будет 10 единиц, площадь под верхней лесенкой 15 единиц. Разность площадей - 5 единиц. Расстояния между лесенками меняются от 0 до sqrt 2, берем среднее - 0.5 * sqrt 2, это примерно 0.7. Делим на эту величину разность площадей и получаем 5 / 0.7 = 7.1. Проверяем, sqrt (5^2 + 5^2) = 7.1. Метод работает.

(128) Нет, в твоем примере обе лесенки будут длиннее полуокружности, и ты получишь оба неравества с одной стороны: L1_n>O, L2_n>O

(129) Основное решение в (4).
Но согласитесь, много интересных "штучек" узнали 🙃

(132) Чисто математически да. Но в (3) и для даунов с калькулятором понятно. Ну или не понятно.

Нет там никакого парадокса. Эта задача аналогична следующей:
"Если 2+2=4, то почему 1+1+1+1=5, как опровергнуть?"
Если кто-то не понимает как это опровергнуть, то зачем вообще ее решать? А если кто-то понимает всю глупость задачи, то тем более нечего там решать.

(135) 2+2=4 - это вроде частный случай Евклидовой геометрии.

(136) Так вы получите бесконечный индекс цитируемости и сломаете гугл.

(135) это следует из аксиом Пеано, они описывают всю арифметику натуральных чисел.