Объясните, пожалуйста, популярно.
Я понимаю что значит дифференцируема функция в принципе, значит, у нее есть производная. Но как понять "бесконечно дифференцируема"?

Дваждыдифферинцируема, трижды... бесконечно

В каждой точки этой окрестности имеет производную любого порядка.

(0) апну. Учился на Прикладной математике, кроме Истории КПСС и ин-яза и физики была математика, математика, математика.. Тебе это надо?

(0) Нет, если ф-я в принципе дифференцируема в окрестности точки, то не факт, что в самой точке существует производная (например угол).
Ну, если есть понимание дифференцируемости один раз, то индуктивно, подойдёте к понятию дважды дифференцируемой функции и т.д. И вот если функция сколько угодно раз(т.е. бесконечное число раз) может быть дифференцирована, то вот это оно и значит.

(0) тут все есть:
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Производная_функции

Через о малые и пределы.

Так же можно почитать Кудрявцева или Фи0тенгольца.

*Фихтенгольца