Доказать, что для любого вещественного числа х выполняется

1 + х/1! + х^2/2! +  х^3/3! + х^4/4! + х^5/5! + х^6/6! + ... + х^2014/2014! > 0

(0) клянусь своей треуголкой

Если х > 0, тогда истина.

(2) при х = 0 тоже :)

(2) если х<0 тогда истина

(3) при x < 0 тоже, смотри (1)

(3) да, ты прав. Пропустил первый чле выражения.

(0) Четные степени будут всегда больше нечетных по модулю, и минус уйдет в плюс. Плюс есть положительный член 1, поэтому всегда > 0

(0) факториальная функция растет быстрее степенной, поэтому, каждый следующий член выражения, больше предыдущего по модулю. разбиваем выражение на пары, пропуская первый элемент, и в результате имеем, что так как каждый следующий член больше предыдущего, то каждая пара положительна. ну и в результате, к первому положительному числу добавить положительные суммы, то оно так и будет больше 0

(7) продолжаешь клясться треуголкой?

+(7) х/1! + х^2/2! = (x + x^2) / (2*1 - 1)
(x + x^2) > 0

остальные пары тоже

(9) Однозначно согласен с (7)

(10) x = -1.1, x^2/2 = 1.21/2 = 0.605. И?

теперь для х->-0

+(10) хотя.. если 0 < x < 1, то не факт))

(13) -0 это что-то из теории пределов)

(15) вот именно

(0) очень похоже на первые 2015 членов ряда Тейлора для экспоненты

Простите, а что тут доказывать?

Любой ! больше нуля. Остальное пофигу.

Я не хороший человек.

(17)Именно так.

Легко доказывается что при x стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности значение функции положительно. Найдем экстремумы. Приравняем первую производную нулю. Это будет исходный многочлен без последнего члена. Заметим что равенство нулю производной может быть только при отрицательных x.
Рассмотрим вторую производную, это первая производная без последнего члена (х^2013/2013!), так как при равенстве нулю первой производной x может быть только отрицательным, то последний член отрицательный. А первая производная без него, то есть вторая производная - положительна.
Значит мы нашли минимум.
Теперь заметим что исходная функция это первая производная плюс (х^2014/2014!), а так как первая производная равна нулю, а четная степень отрицательного числа всегда положительна - получили что все минимумы функции положительны.

(22)+1
Поздравляю с наступающим 2014 годом!