Функция дифференцируема бесконечное число раз во всех точках вещественной прямой равна тождественна нулю на некотором отрезке. Верно ли, что она тождественно равна нулю на всей прямой?

попозже я приведу пример возможности

разложить в ряд Тейлора ?

(1) в какой точке?

Нет не верно.
Пример в своё время привел Коши, и этот пример есть в википедии :)

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:

(3) в том примере правда функция не равна нулю на отрезке, а только в точке

На отрезке От "а" до "б" f(x)=0
При х<а f(х)=е^(-1/(x-а)^2) и т.д.

При х>б f(х)=е^(-1/(x-б)^2)

а в комплексном случае?
только вместо отрезка возьмем замкнутую область, например круг

Умные 1С-ники. Фантастика.

Погодите, я делаю скрин на память...

(7) Тождественно равна нулю. Тоже есть в википедии:

"Голоморфная функция — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости  и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

В отличие от вещественного случая, это условие влечёт, что функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора."

+(10) Просто представляем в виде ряда Тейлора по любой точки из области, в которой она тождественно равна нулю.