Пусть a[0]=0, a[1]=1 и a[k+2]=(a[k]+a[k+1])%m - остаток от деления на некоторое фиксированное m суммы двух предыдущих членов.
1. Доказать что найдутся такое n>0, что a[n]=0, a[n+1]=1
2. Найти зависимость периода последовательности от m

зачем?

(1) опять ты? мне интересно

1. Легко: n = 3, m = 2
2. период = m^2-1

(3)
1. нужно доказать для любого m, а не выбранного Вами
2. неверно при m=4, например

Хотя нет, в 2. ошибся в расчетах, сильно сложно.

(4) в условии не было "Для любого m", там было "найдутся такое n>0"

Если найти период, автоматически получится доказать первый пункт для любого m

(6) это подразумевается из контекста, ведь для каждого m свой случай
не будем спорить: первый пункт нужно доказать для всех m

вообще непонятное поведение длины цикла от m:

m n
---
2 3
3 8
4 6
5 20
6 24
7 16
8 12
9 24
10 60
11 10
12 24
13 28
14 48
15 40
16 24
17 36
18 24
19 18
20 60

http://oeis.org/A001175

(10) Нифига себе. Такое наверное не вычислить, только догадаться можно.

Нда... что удалось получить если n=p - простое число:
Обозначим h(p) - минимальный индекс в последовательности Фибоначчи для которого F[p] делится на p, тогда
1. h(p)<=p+1
2. длина цикла п(p)=q(p)*h(p), где
q(p)=4, если h(p)-нечетное
q(p)=1 или 2, если h(p)-четное
3. всего таких циклов (я их назвал "главными" циклами) (p-1)/q(p)
но "главными" циклами не все описывается, есть еще другие, вот с ними засада, например циклы для p=11:

> 0
> 1 2 3 5 8 2 10 1 0 1
> 2 4 6 10 5 4 9 2 0 2
> 3 6 9 4 2 6 8 3 0 3
> 4 8 1 9 10 8 7 4 0 4
> 5 10 4 3 7 10 6 5 0 5
> 6 1 7 8 4 1 5 6 0 6
> 7 3 10 2 1 3 4 7 0 7
> 8 5 2 7 9 5 3 8 0 8
> 9 7 5 1 6 7 2 9 0 9
> 10 9 8 6 3 9 1 10 0 10
> 5 9 3 1 4
> 9 6 4 10 3 2 5 7 1 8
> 10 7 6 2 8