Вопрос такой: можно ли определить какое из двух комплексных чисел больше? И если можно, то как?

больше по модулю?

Вообще-то комплексные числа относятся к разряду несравнимых величин...
Поэтому опреедели критерий...
что больше 1+2i или 5 + 1i ?

Вопрос навеян этотой веткой:

OFF: Игра в числа

(0) Представь число в показательной форме:
r*e^(i*f)
http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Эйлера
и сравнивай потом.

по модулю можно

Модуль комплексного числа - это уже обычное действительное число. И сравнивать их мы и так все умеем.

Интересует, есть ли какое-нибудь математическое определение того, какое из комплексных чисел больше?

(6) Представь, что комплексное число - это вектор. У вектора есть длина и направление. Сравнивать векторы можно, как по длине, так и по направлению.

(7) ну и как вектора можно сравнить по направлению? Какой из них больше, который направлен вверх или вправо?

(8) Который направлен в верх всегда больше тогда что напрвлен вниз

Можно задать операцию сравнения например так:
x1 + i * y1 > x2 + i * y2 если x1 > x2 и y1 > y2
Тогда множество комплексных числе станет частично упорядоченным

Или иначе. Комплексными числами можно описывать периодические процессы. Тогда мы получаем не длину и направление, а фазу и амплитуду.

(8) Это берется (сравнение по направлению) в зависимости от решаемой задачи.

(10) как ты вектора сравниваешь ?

(11) то есть четкого математического определения нет, все зависит от конкретной задачи?

(13) у тебя есть 2 точки на плоскости, какая из них больше?

(9) бугага

i вверх, -i вниз => i>-i => (i)*(i) > (-i)*(-i) => -1>1

Полную упорядоченность на комплексных числах конечно можно искусственно ввести.
Но желательно ведь, чтобы это понятие стыковалось бы с понятиями непрерывности и сохранялись свойства арифметического сдвига и знака умножения

(15) кстати надо осторожно умножать неравенства

(13) Ага.
Вот, например, более подробно о метрических пространствах. В общем случае требования к метрике задается его аксиомами.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Метрическое_пространство

Грубо говоря, метрическое пространство обобщает понятие "расстояние" между двумя объектами.

+ (14)

и как быть в n-мерном пространстве ?

(14) Как вариант провести произвольную прямую и сравнивать расстояние их до прямой. :)

(19) Ввести центральную точку и от нее мерить :)

(20) еще вариант: все числа равны друг другу

(20) отмерять что ?

направление ?

(22) Расстояние.

(17) Пардон, тогда

i выше 0 => i>0 => ii>0 => -1>0

(24)

сравни мне два числа :

3 + 4i
и
3 - 4i

какое больше ?

(27) Модули одинаковые, направления разные.

Еще есть вариант сравнивать комплексные числа иначе, когда, они описывают некоторый процесс. Тогда вопрос с "направлением" можно решить.

(27) Критерий дай :)

(29) размер груди !

(30) Тогда точно одинаковые, но одна находится слева, другая справа :))

(25) с чего ты взял, что после умножения на i знак неравенства не меняется?

+(28) Для переменного электрического тока:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Электрическое_напряжение

(32) а как вообще можно определить неравенство с числом i?

(34) понятия не имею. Тупо не помню эту часть вышки. Но так легко умножать неравенства на что-то точно нельзя.

(34) Напрямую нельзя.

(33) что там сравниваешь ?

(37) Очень просто. Периодический процесс - переменный ток - можно представить в комплексной форме, а потом сравнивать различные варианты напряжения тока и т. д.

(15) Шутки не понял ты

бросьте страдать хренью и смиритесь, что все попытки придумать упорядоченность на комплексных числах будут "плохо стыковаться" с другими свойствами этих чисел