При каких целых положительных n выражение n!+3n является полным квадратом?

делать нечего, да?

(1) да

(0) тебя @Ненавижу1С укусил?

(3) это он и есть.

(3) Лёвыч такой Лёвыч

бгг

(4),(5) вас хрен различишь, когда вы толпиться начинаете

(7) хрю!

(0) например 1.

(9) верно, еще n=4, еще есть варианты?

Если n - простое число то квадрата не будет.

(11) n!+3n=n*((n-1)!+3)
то есть я понимаю, что вы утверждаете, что (n-1)!+3 не делится на n, почему?

(12) Пока гипотеза ). Думаю

(12) очевидно, что если X>3 и N делится на Х, то N+3 не делится на Х)

(14) и как это с данным примером сопоставляется?

(15) никак, но для простого n, остаток от деления (n-1)! на n будет (n-1)

(16) согласен, по http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Вильсона

при n>5 n! % 9 = 0 (*)
отсюда получаем (n!+3n)%3=0, n делится на 3.
далее, если n - составное, то
n!+3n=n((n-1)!+3); (n-1)!%n=0 (в (n-1)! входят делители n);
и соответственно ((n-1)!+3)%n=3, то есть n = 9a^2 или 3a^2
а) n=9a^2 (a>0)
n!+3n=9a^2((9a^2-1)!+3), (9a^2-1)!+3 - квадрат, что невозможно при a>0 (см * - делится на 3 и не делится на 9)
б) n=3a^2 (a>1)
n!+3n=9a^2((3a^2-1)!/3+1),(3a^2-1)!/3+1 - квадрат,
получили оставшееся условие в виде задачи -
для каких Х Х!/3+1 является полным квадратом.

(18)
>отсюда получаем (n!+3n)%3=0, n делится на 3
Почему n делится на 3?
>и соответственно ((n-1)!+3)%n=3, то есть n = 9a^2 или 3a^2
Почему n именно такого вида?

(19)
1)n>5 -> n>=6, n!>=1*2*3*4*5*6=9x, 9x+3n - квадрат и раз делится на 3 то и на 9
2)((n-1)!+3)%n=3 -> по алгоритму Евклида НОД (x,ax+b)=НОД(x,b) и здесь (взяв в качестве а=(n-1)!/n, b=3) получим НОД (n,(n-1)!+3)<=3 - то есть 1 или 3.
Так как их произведение - квадрат, то (а) они взаимно просты - тогда каждое из них квадрат (ранее узнали n%3=0) - случай 1
(б) общий множитель равен 3, а (n/3) и (n-1)!/3+1 - квадраты - случай 2

OFF: Скончался математик Владимир Арнольд

(2) http://ru.wikipedia.org/wiki/Хи-квадрат_распределение