Доказать, что если плоская фигура имеет конечное число осей симметрии и это число четно, то фигура имеет центр симметрии, если нечетное - не имеет центра симметрии.
Доказать, что у центральносимметричной фигуры число осей симметрий либо 0, либо конечно и четно, либо бесконечно.

Отражение через точку есть сумма двух отражений через линии.
Причём, если только две оси, то они под прямым углом.
Центр симметрии лежит на оси симметрии, если есть одна ось, то есть и перпендикулярная ей.

(0) у равностороннего треугольника сколько осей симметрии?

(2) 3

Три оси и ни одного центра.

(1) а если их 4 или 6?

(4) почему ни одного?

симметрия поворотом уже не считается?

(7) прочти сначала, что такое центр симметрии

+(8) в рамках школьной математики конечно

Центр симметрии - это когда если точка лежащая на прямой, проходящей через центр, принадлежит фигуре, то точка, находящаяся на таком же расстоянии в другую сторону от центра тоже принадлежит фигуре.
(5) А что здесь такого, если есть одна ось и центр, то должна быть другая ось, перпендикулярная указанной. А если есть ещё какая, то ось, то ей тоже найдётся перпендикулярная.

какая именно симметрия имеется ввиду? http://ru.wikipedia.org/wiki/Симметрия

имеется в виду центр симметрии и ось симметрии из школьного курса

(10) http://ru.wikipedia.org/wiki/Центральная_симметрия

(11) знаю, потому и поправился

(12) что значит "школьная"?

(15) Геометрическая фигура ( или тело ) называется симметричной относительно центра C, если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам ( AC = CE ). Точка C называется центром симметрии.
Геометрическая фигура называется симметричной относительно прямой s, если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен прямой s и делится этой прямой пополам. Прямая s называется осью симметрии.

(16) Если есть ось симметрии, очевидно, что она проходит через центр симметрии.
Далее, рассматриваем E - для неё есть E` относительно оси симметрии и E`` относительно центра симметрии, тогда получается наличие перпендикулярной оси симметрии.

вы первую часть доказываете? почему вы предположили что центр УЖЕ есть?

Я доказываю, что если есть центр и одна ось симметрии, то есть и перпендикулярная ей ось симметрии.
Далее, надо доказать, что если есть две перпендикулярные оси симметрии, то есть центр симметрии - аналогично координатным методом.

а вдруг не все распадаются на перпендикулярные (я уверен, что распадаются), но доказать надо!

Окружность - это плоская фигура? Если да то теорема (0) не верна

Допустим, есть фигура с четным конечным числом осей симметрии. Возьмем любые две из них. Параллельны они быть не могут - их взаимные отражения тоже будут параллельными осями и тд до бесконечности - а число осей конечно. Итак, какую бы ось мы не взяли, все остальные ее пересекают. Если пересечение не перпендикулярно, то должно существовать отражение. Т.е. если все оси пересекают неперпендикулярно, то их число нечетно. Итак для каждой оси существует ей перпендикулярная.

(21) плоская, где она не верна?

У окружности бесконечное число осей симметрии, а чётно оно или нет - кто его знает.

(23) Общибся

(25) собственно, фраза про бесконечность и добавлена, чтобы окружность укладывалась в теорему.

(26) и всякие фракталы, но от этого голову вообще сносит ))

слабо теорему продолжить а 3-х мерное пространство? нука солько плоскостей симметрий у куба?

(28) 16

+(29) вру 8

(30) конечно врешь. Их 9

А в четырёхмерное пространство слабо заглянуть ?