Условие в заголовке.

(0) отпусти меня, чудо-трава...

Да уж

Предположу, что доказательство "от противного".

(30 от очень противного :)

В связи с моим последним "бзиком" было принято решение о бане на месяц за откровенный флуд в этом разделе :)

чето я запутался. Простые числа это которые делятся только на 1 и сами себя?

Пока, очевидно, понятно, что если такое уравнение разрешимо, то обязательно среди чисел p,q,r,s,t будет присутствовать число 2. Иначе получится противоречие с четностью/нечетностью, ведь единственное четное простое число - это 2. Как-то теперь надо раскрутить...

(6)
Простое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии


Просто?е число? — это натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Последовательность простых чисел начинается с

   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

Натуральное число, имеющее больше двух делителей, называется составным. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.

ммм скажите непонятливому что значит p^2
к величайшему сожалению, не очень понимаю, что означает знак ^

(9) Возведение в степень

(7)Можно по формуле простого числа 6n+-1, которой удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3, показать, что среди оставшихся чисел должна быть тройка.

Проще говоря: не существует пять таких простых чисел (возможно одинаковых)
Что сумма квадратов двух из них равна сумме квадратов трех оставшихся.
(7) Да, начало верное. Вообще, как правило, диофантовы уравнения решаются через делимость.

(11) Опа, а я и не знал про такую ...

(11) Можно немного иначе. Квадрат простого числа про модулю 2,3,4 равен единице (если это простое число не 2 и не 3)

(13)
Из возможных комбинаций
6n
6n+-1
6n+-2
6n+-3
6n+-4
6n+-5
все, кроме 6n+-1 и 6n+-5 делятся на 2 или 3. Но 6n+-1 и 6n+-5 - это одно и то же, только n разное. Много простых чисел идут парами, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и так далее. Есть гипотеза (насколько знаю, недоказанная) что число таких пар бесконечно.

(11). Ага, точно. Не сразу в глаза бросается, что это можно здесь применить.
(13). Факт достаточно простой, ведь кроме 2 и 3 остальные числа (нечетные) должны представляться в виде 6k+-1, ведь 6k+-3 делятся на 3, а 6k+5=6(k+1)-1, 6k-5=6(k-1)+1

(14)Или, что будет более полезно для данной задачи, квадрат простого числа минус единица кратен 12. Сейчас таким способом дошел до варианта p^2+q^2=13+t^2

Вроде доказанная. Могу поискать факт доказательства.

(14) Ну вооот, так сразу и решение сказал.

(17) Как всегда - мысль у людей течет в одинаковом направлении.
Про ВСЕ остальные варианты доказал что они невозможны?
Допустим по модулю три - правая и левая часть могут быть равны 0,1,2.
У тебя вариант 2, нужно доказать что остальные невозможны.

(19) Это еще не ршение. Даже (17) Это еще не решение, но уже очень близко.

(21) Как не решение?

(p^2 + q^2) mod 2 = (p^2 mod 2 + q^2 mod 2) mod 2 = 0

(r^2 + s^2 + t^2) mod 2 = (r^2 mod 2 + s^2 mod 2 + t^2 mod 2) mod 2 = 1

Или я где то ошибаюсь?

(p^2+q^2) mod 2=0, это почему? 4+9 mod 2=1

ошибаешься. Никто же не запрещает использовать двойку в качестве простого числа.

(22). Ты тем самым доказал, что среди этих пяти чисел присутствует число 2. Это мы и так уже поняли)

+(22) Стоп, это только для случая, когда все 5 больше 3.

(23)(24)(26) Да, да, облажался ;-)

(20)Исходя из (7) есть варианты:
p^2+4=r^2+s^2+t^2
p^2+q^2=4+s^2+t^2
Исходя из (11) есть варианты
13=r^2+s^2+t^2 (вариант а)
p^2=5+s^2+t^2 (вариант б)
(из первого)
5+q^2=s^2+t^2 (вариант в)
p^2+q^2=13+t^2 (вариант г)
(из второго)
Кроме того, в (11) упущен вариант, когда есть не тройка, а еще две двойки, то есть:
4=s^2+t^2
p^2=4+t^2
(из первого)
4=s^2+t^2
p^2+q^2=12
p^2=4+t^2
(из второго)
но эти варианты устраняются простым подбором
Вариант а устраняется опять же перебором - нет трех простых чисел, сумма квадратов которых равнялась бы 13
Вариант б при условии (17)
12p+1=5+12s+1+12t+1, где старые t^2 равны новым 12t+1 и т.п.
12(p-s-t)=6 - то есть можем этот вариант отбросить
Вариант в при том же условии
5+12q+1=12s+1+12t+1
4=12(s+t-q) - отбрасываем

(28) я это писал так:
Квадрат простого числа по модулю 3 и по модулю 4 может быть равен только единице, если эти числа не равны 3 либо 2 соотвественно. (В этом случае ноль)
Пусть левая часть по модулю три равна 0 - такое невозможно.
Пусть левая часть по модулю три равна двум - рассмотренный мной случай.
Пусть левая часть по модулю три равна одному -> 9+x^2=18+t^2
x^2-9=t^2
(x-3)(x+3)=t^2
Но t - простое.
Решений нет. t простое только при x=4, но при этом не простое x.

Теперь случай когда по модулю три правая/левая части равны нулю.
Сумма квадратов трех простых чисел не может быть равна 18-ти, так как по делимости на три - либо они все должны быть равны трем - но тогда их сумма 27. Либо они все должны быть не равны трем, но тогда они все меньше пяти (5^2=25>18), то есть все три равны двум. Но в этом случае их сумма будет равна 4*3=12, что тоже не равно 18-ти.

(p-r)(p+r)=(s-q)(s+q)+t^2
1) s=q (то есть любое число слева равно любому справа)
(p-r)(p+r)=t^2 - это разложение противоречит тому, что t - простое
(Здесь мы проверили, что двойка у нас может быть только одна)
2) s!=q (то есть с левой и с правой стороны нет совпадающих)
а) среди p,r,s,q,t - нет двойки, тогда
нечет=нечет+нечёт - невозможно
б) p=2
4=(s-q)(s+q)+r*r+t*t
r*r+t*t - кратно 4
(6k-1)*(6k-1)+(6m-1)*(6m-1)=36k^2-12k+1+36m^2-12m+1=36(k^2+m^2)-12(k+m)+2
не кратно 4, так как у нас 2 на 4 не делится
в) t=2 - аналогично рассматриваем (-4)
Вот и всё.

Это ничего не доказывает

(31) Дима, а тебе сейчас интересны задачи по программированию?

Неа, думать больше не доставляет удовольствия.

Мне интересны задачи по распрограммированию

(33,34) Это старость. Рановато у тебя она наступила... :(

Математика - лженаука, люди придумывают несуществующие понятия и ими оперируют, если кто-то чего-то доказывает, то исключительно свою же собственную логику. Никакой связи с реальностью, чистые галлюцинации так называемого ума. Я это и до занятия программированием знал, просто какое-то время было интересно, а какое-то время нужны были деньги, а сейчас неинтересно и не очень нужны. Если это старость, то я лет с 16 стар.

(36) Врешь ведь гад. Буквально несколько лет назад ты с удовольствием решал задачи по программироваию.

(37) "просто какое-то время было интересно"

(38) Неужели сейчас совсем неинетресно? У меня интерес постоянно пропадал, но всегда возвращался.

Нет, есть задачки в жизни в миллионы раз интересней, чем математическая глупость.

(40) А я нашел свою нишу (см. раздел), и мне это интересно. А в жизни и так всё хорошо.

(41) Порадовался бы за тебя, но увы за других не умею.

(18). В Википедии
http://ru.wikipedia.org/wiki/Простые_близнецы
говорится, что эта задача пока не решенная.

p^2+q^2=r^2+s^2 - частное от Теоремы Ферма
с тремя и более - тоже самое..

(43) Вполне возможно.
(44) Эта задача решаема, и значительно проще чем доказательства теоремы ферма.
После (17) Остался один маленький шаг.
Но, в связи с десятой проблемой Гильберта, и доказательством Матиясевича понятно - далеко не для любого Диафантова уравнения можно доказать его неразрешимость.

видимый размер луны = видимому размеру солнца - возможность затмений
365 дней года раскладываются в формулу p^2+q^2=r^2+s^2+t^2
причем p,q,r,s,t - последовательные числа и такая последовательность, удовлетворяющая уравнению на числовой оси всего одна.
МОЖЕТ БЫТЬ ЭТО ВСЕ НЕСПРОСТА?

(46) Угу. Это всемирный заговор :)
Кстати, мне решение засчитали после вывода уранения (17), что делать дальше я тоже не знаю. Рассматривал по модулю 5 - но безрезультатно.

когда все переменные >2, то неразрешимо, т.к. в левой части четное число, в правой нечетное.
осталось доказать, когда один из множителей равен 2...

(+48) ....ступил. переменные могут иметь одинаковые значения

Это следствие другой задачи.
Сумма двух квадратов не может равняться сумме трех квадратов, если эти числа либо 2, либо нечетные.
Рассмотрим по модулю 8.
Квадрат 2 равен 4, а квадрат нечетного числа равен 1.
осталось перебрать все возможные варианты
слева
1+1=2
1+4=5
4+4=0
справа
1+1+1=3
1+1+4=6
1+4+4=1
4+4+4=4
Равенство невозможно никогда.

Но это доказательство выглядит фокусом, поскольку словершенно не понятно почему надо брать в качестве модуля 8. Можно доказывать по другому, пытаясь разложить выражение на множители. При этом нужно учитывать, что (x-y)(x+y), где x, y нечетны, делится на 8. Действительно, пусть x=2k+1 и y = 2l+1.
x+y=2(k+l+1)
x-y=2(k-l)
так так k+l и k-l имеют одинаковую четность, то одно из чисел k+l+1, k-l обязательно четное.
Остальные числа - двойки их квадрат не делится на 8.

(50) Круто...