Вход | Регистрация
 
О жизни... :: Жизнь прекрасна!

OFF: Помогите решить задачу: в клетках квадрата 9*9 расставлены натуральные числа...

OFF: Помогите решить задачу: в клетках квадрата 9*9 расставлены натуральные числа...
Я
   vvspb
 
29.05.21 - 12:51
Решение должно быть простым. Не доходит до меня :(
В клетках квадрата 9*9 расставлены натуральные числа. Сумма чисел в любом квадрате 2*2 нечётна. Верно ли утверждение что сумма чисел во всей таблице четна?
 
 Партнерская программа EFSOL Oblako
   Asmody
 
1 - 29.05.21 - 12:58
Очевидно, что сумма в любом квадрате 8х8 четна. Отсюда надо вывести сумму в квадрате 9х9
   vvspb
 
2 - 29.05.21 - 12:59
(1) , что сумма в любом квадрате 8х8 четна/// это до меня дошло :)
   RomanYS
 
3 - 29.05.21 - 13:27
(0) Не верно. Контрпример легко подбирается. Откуда задачка?
   PR
 
4 - 29.05.21 - 13:43
(0) Берем квадрат 2х2
10
00

Теперь прибавляем справа и вниз инвертированные квадраты, пока не будет 10 столбцов и 10 строк
01
11

Десятый столбец и десятую строку удаляем

Нечетная сумма
100110011
001100110
011001100
110011001
100110011
001100110
011001100
110011001
100110011
   vvspb
 
5 - 29.05.21 - 13:53
(3) знакомому мальчику такие задачи дают в школе. 5 класс. Не олимпиада.
   RomanYS
 
6 - 29.05.21 - 13:54
(4) сумма будет всегда нечётная ;) ?
   mistеr
 
7 - 29.05.21 - 14:36
(4) Читай внимательно условие. Числа *натуральные*!
   Asmody
 
8 - 29.05.21 - 14:46
(7) "натуральность" нуля - вопрос аксиоматики.
Но ничего не поменяется, если вместо 0 взять 1, а вместо 1 - 2.
   Garykom
 
9 - 29.05.21 - 14:57
1. четное + четное = четное
2. четное + нечетное = нечетное
3. нечетно + нечетное = четное

Очевидно что если везде четные числа отпадает иначе не получить 2х2 нечетное
Очевидно что везде нечетные числа так же отпадает иначе не получить 2х2 нечетное

Значит в квадрате 2х2 может быть чтобы сумма была нечетная:
1. Ч-Ч-Ч-Н
2. Ч-Н-Н-Н

Но квадраты могут "накладываться" и соседний наложенный так же должен нечетным
НЧ
ЧЧ
или
ЧН
НН

Типа такого:
НЧНЧ
ЧЧЧЧ
НЧНЧ
ЧЧЧЧ

НЧНЧН
ЧЧЧЧЧ
НЧНЧН
ЧЧЧЧЧ
НЧНЧН

Очевидно легко заметить что суммы по колонкам и столбцам всегда будут четны для четного их числа
И чередоваться для нечетного числа строк/колонок чет-нечет-чет-нечет-чет

Для квадрата 9х9 будет 5 четных и 4 нечетных строк, или наоборот 4 четных и 5 нечетных строк
Строки можно складывать и:
Сумма 9 чисел (строк) из которых 5ч+4н всегда четная
Но вот сумма из 9 чисел 4ч+5н - всегда нечетная

Итого утверждение "сумма чисел во всей таблице четна" неверно!
   RomanYS
 
10 - 29.05.21 - 15:09
(9) на (6) ответь, пожалуйста
   PR
 
11 - 29.05.21 - 15:09
(6) Нет
011001100
001100110
011001100
110011001
100110011
001100110
011001100
110011001
100110011
   rphosts
 
12 - 29.05.21 - 15:10
(8) с точностью до чётности 0 меняется на 2(4,6,8...) а не на 1., а менять 0->1, 1->2 - это инверсия/дополенние
   PR
 
13 - 29.05.21 - 15:12
(12) Там пофиг, потому что одно четное, а другое нет, инверсия в данном случае ничего не меняет
А в общем случае да, надо брать, например 2 и 3
   PR
 
14 - 29.05.21 - 15:14
+(13) Не меняет в том плане, что есть примеры как четности общей суммы так и нечетности, а в квадрате 2х2 сумма будет в обоих случаях нечетная
   Garykom
 
15 - 29.05.21 - 15:21
(10) Нет, можно подобрать заполнение и под четную и нечетную сумму
   RomanYS
 
16 - 29.05.21 - 15:24
(11) Бинго. Это и есть самое простое решение (правда возможно не для пятиклассника): меняем в конечной расстановке местами четные и нечетные. При этом в квадратах 2*2 (не)четность сохраняется, а в квадрате 9*9 меняется (а следовательно может быть любой)
   Garykom
 
17 - 29.05.21 - 15:25
Если задачку слегка усложнить то она вполне олимпиадная будет

А во задача
"В клетках квадрата 8*8 расставлены натуральные числа. Сумма чисел в любом квадрате 2*2 нечётна. Верно ли утверждение что сумма чисел во всей таблице четна?"
Имеет ответ: Утверждение верно!
   Garykom
 
18 - 29.05.21 - 15:26
(16) Для пятиклассника надо просто догадаться до нечетности 2х2 и далее из них построить 10х10
Затем просто вырезая из него четыре штуки 9х9 проверить
   RomanYS
 
19 - 29.05.21 - 15:26
(11) ну и самым банальным вариантом видится
101010101
000000000
101010101
000000000
101010101
000000000
101010101
000000000
101010101

Но тут уже на вкус и цвет...
   Garykom
 
20 - 29.05.21 - 15:27
(19) Так как это пятиклассник надо брать 1 и 2 вместо 0 и 1
   RomanYS
 
21 - 29.05.21 - 15:30
(18) контрпример построить проще. Принцип можно понять на примере 3*3
(20) вот тут да для пятиклассника тут куча мелких препятствий. Главное чтобы был доступен уровень абстракции, что числа можно заменить на любые Ч и Н. Тут имхо главный ступор для среднего пятиклассника.
   RomanYS
 
22 - 29.05.21 - 15:32
(5) Не плохо. Если дети не осилят, хоть родители разомнутся))
   Гобсек
 
23 - 29.05.21 - 15:34
Если в клетке с координатами m,n поместить число mn, то сумма чисел в квадрате 2*2 будет
mn + (m+1)n + m(n+1) + (m+1)(n+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 - нечетное число
Сумма всех чисел будет (1+2+3+...+9)^2 = (9*10/2)^2 = 45^2 = 2025
   PR
 
24 - 29.05.21 - 15:38
(17) LOL
Задача копеечная
Имеем 16 нечетных сумм
И очень сложный вопрос, четная ли их сумма
   RomanYS
 
25 - 29.05.21 - 15:52
(17) :)) прочитай (2)
   Garykom
 
26 - 29.05.21 - 15:56
(24) Так и не говорил что этот вариант олимпиадный
А вот вывести общую формулу четности-нечетности от размера мелкого и большого квадрата это вполне

(25) Читал
   Garykom
 
27 - 29.05.21 - 15:57
(26)+ Например
"В клетках квадрата M*M расставлены натуральные числа. Сумма чисел в любом квадрате N*N нечётна. Верно ли утверждение что сумма чисел во всей таблице четна?"
   Garykom
 
28 - 29.05.21 - 15:59
(27)+ Вывести и доказать зависимость для различных N<M и четности N и M
   RomanYS
 
29 - 29.05.21 - 16:02
(28) для четных N задача уже решена в (16)
   vvspb
 
30 - 29.05.21 - 16:11
(22) вот и разминаемся с подругой :)
 
 
   Вафель
 
31 - 29.05.21 - 16:12
А без примера есть доказательство?
   RomanYS
 
32 - 29.05.21 - 16:12
(31) в (16)
   RomanYS
 
33 - 29.05.21 - 16:13
+(32) если строго, то от противного
   Вафель
 
34 - 29.05.21 - 16:14
(33) я же просил НЕ через пример
   RomanYS
 
35 - 29.05.21 - 16:18
(34) А там и не пример:
предположим что верно (сумма всегда чётна)
добавляем к каждому числу 1 - теперь сумма нечётна, а условие для квадаратов 2*2 выполняется
Противоречие.
   Вафель
 
36 - 29.05.21 - 16:25
А почему меняется то?
   RomanYS
 
37 - 29.05.21 - 16:31
(36) Потому что чисел 81 и ты к каждому добавил 1, т.е. к сумме добавил 81
   PR
 
38 - 29.05.21 - 16:40
Мда, по ходу школу не все закончили


Список тем форума
 
ВНИМАНИЕ! Если вы потеряли окно ввода сообщения, нажмите Ctrl-F5 или Ctrl-R или кнопку "Обновить" в браузере.